Федор Петров ([info]rus4) wrote,
@ 2006-05-01 22:32:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
сумма натуральных чисел
Вычислим сумму 1+2+3+...


1 способ. Пусть 1-1+1-1+...=a. Тогда
1-1+1-...=a. Складывая в столбик, получаем, что 2a=1+0+0+...=1, a=1/2.

Пусть теперь 1-2+3-4+...=b. Тогда
1-2+3-...=b. Складывая, получаем, что
2b=1-1+1-1+...=1/2, b=1/4.
Пусть теперь 1+ 2+3+ 4+5+...=с.
Тогда 0+4*1+0+4*2+0+...=4с.
Вычитая в столбик, получаем, что -3с=1-2+3-4+5+...=1/4, стало быть

1+2+3+...=-1/12.

2 способ. Пусть 1+2+3+...=S.
Тогда 2+4+6+...=2*(1+2+3+...)=2S. Стало быть
1+3+5+...=(1+2+3+4+5+6+...)-
(0+2+0+4+0+6+...)=-S.

Теперь сложим равенства
1+2+3+4+...=S
0+1+3+5+...=-S.
Получим 0=1+3+6+9+...=1+3*(1+2+3+...)=1+3S, S=-1/3.

Поэтому

1+2+3+...=-1/3.



Вопрос: почему в первом случае получается правильный ответ, а во втором неправильный?

Advertisement

(Post a new comment)

Ага.
[info]vse_budet
2006-05-01 07:27 pm UTC (link)
Из первого результата получаеться прикольное неравенство.
Надо \pi^2/6=(1/1^2+1/2^2+1/3^2+...) пару раз домножить на (1+2+3+..) и отКБШировать.

Яужезабыл что получаеться, надо вспомнить:)

(Reply to this)

[info]a_konst
2006-05-01 07:44 pm UTC (link)
сильно.
я пас.

(Reply to this)

[info]nikaan
2006-05-01 07:50 pm UTC (link)
Мы не доказали, что а - число. :)
В том смысле, что, может Вы рассматриваете гораздо более прикольное мн-во, чем R, так исследуйтее его глубже... возможно в нём просто другие законы умножения и противоречия не возникает.
Типа это какой-то совсем глобальный делитель 0 или б.м. окрестность в каких-то схемах :)))

(Reply to this)(Thread)

[info]rus4
2006-05-02 06:38 am UTC (link)
Да, но разве эти претензии нельзя предъявить к обоим способам? А в первом получается правильный ответ.

(Reply to this)(Parent)(Thread)

(Reply from suspended user)
Re: С каких это пор
[info]rus4
2006-05-02 08:24 am UTC (link)
Почему это решение правильно, я вкратце объяснил тут:
http://rus4.livejournal.com/12191.html?thread=109983#t109983

А если пользоваться формулой Антона (0+2+0+4+0+6+...)=(1+2+3+...)/2, то получится 1/4=0.

(Reply to this)(Parent)

[info]french_man
2006-05-01 07:51 pm UTC (link)
Превед.

(Reply to this)

[info]akopyan
2006-05-01 07:59 pm UTC (link)
По-видимому, первое это случайность

(Reply to this)(Thread)

[info]rus4
2006-05-02 07:36 am UTC (link)
Это не случайность.

Это формула zeta(s)*(2^{1-s}-1)=\sum (-1)^n*n^{-s}
(для s=-1). А формула верна, потому что она верна для Re(s)>1 (тогда ряды сходятся, и можно выделять четные слагаемые).

(Reply to this)(Parent)

[info]septembreange
2006-05-01 08:47 pm UTC (link)
:)

Федя! Ты гонишь! 0+1+0+2+0+...=1/4(1+2+3+4+...), а совсем не целому. Это видно из предела отношения частичных сумм. Еще Больцано,кажется, понимал, что эти ряды разные.

(Reply to this)(Thread)

[info]mahalex
2006-05-01 10:42 pm UTC (link)
Так в первый-то раз получилось правильно! :) Видимо, совпадение, я так сразу не вижу, где за всем этим сидит дзета-функция.

(Reply to this)(Parent)

[info]rus4
2006-05-02 06:41 am UTC (link)
Если мы будем считать частичные суммы, то увидим, что они стремятся к бесконечности, а вовсе не к -1/12. К тому же в первом способе применяется ровно тот же аргумент, и он приводит к правильному результату.

(Reply to this)(Parent)

[info]zhecka
2006-05-01 09:58 pm UTC (link)
А почему -(1/12) -- правильный ответ? И в каком кольце/поле происходят все эти вычисления?

(Reply to this)(Thread)

[info]ygam
2006-05-01 10:35 pm UTC (link)
p-адики.

(Reply to this)(Parent)(Thread)

[info]xgrbml
2006-05-02 06:19 am UTC (link)
В кольце p-адических чисел ряд 1+2+3+4+... благополучно расходится.

(Reply to this)(Parent)

[info]rus4
2006-05-02 06:35 am UTC (link)
-1/12=zeta(-1). Так как при s>1 имеем zeta(s)=1^{-s}+2^{-s}+..., то получаем -1/12=1+2+3+...

(Reply to this)(Parent)

[info]vadim_i_z
2006-05-01 10:05 pm UTC (link)
Первый пример хорошо разобран у Гарднера (с тремя ответами, а можно и больше).

(Reply to this)(Thread)

[info]rus4
2006-05-02 06:37 am UTC (link)
Первый это какой? Про 1-1+1-1+...? С ним-то все в порядке, он сходится например по Чезаро, и сумма равна 1/2.

(Reply to this)(Parent)(Thread)

[info]vadim_i_z
2006-05-02 07:20 am UTC (link)
Да, этот вариант там тоже указан.

(Reply to this)(Parent)

[info]syarzhuk
2006-05-01 10:18 pm UTC (link)
1-1+1-1+...=a=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0

(Reply to this)(Thread)

[info]rus4
2006-05-02 06:43 am UTC (link)
Скобки ставить нельзя. Ряды 1-1+1-1+... и 1-2+3-4+5-6+... сходятся по стандартным методам суммирования расходящихся рядов (например, Абеля-Пуассона, или два раза по Чезаро). Но расставлять скобки эти способы запрещают.

(Reply to this)(Parent)(Thread)

[info]vadim_i_z
2006-05-02 07:23 am UTC (link)
О том и речь, что, применяя другой метод, получаешь другой результат. Как в том анекдоте про молодого бухгалтера.

(Reply to this)(Parent)(Thread)

[info]rus4
2006-05-02 07:29 am UTC (link)
Те методы суммирования расходящихся рядов, о которых я говорю, вполне математически понятны и обладают следующими свойствами:

1) обобщенная сумма сходящегося ряда равна его обычной сумме

2) sum(a_n+b_n)=sum(a_n)+sum(b_n), если обе суммы справа существуют

3) sum(a_n)=a_1+sum(a_{n+1}).

Про скобки ничего не говорится.

А идея применять методы суммирования расходящихся рядов в бухгалтерии представляется перспективной.


(Reply to this)(Parent)(Thread)

(Reply from suspended user)

[info]septembreange
2006-05-02 11:24 am UTC (link)
А про то, что нули расставять можно, кто сказал? Это читерство.
От прореживания нулями и сумма по Чезаре иногда меняется, например, если мы в ряду 1-1+1-1... после каждой +единички поставим по нолику, то она будет уже 2/3, если я правильно помню, что это такое.

Правда, от прореживания каждым вторым нулем она не меняется, да.
Но точно ни у каких других признаков с ней проблем не воозникает?

(Reply to this)(Parent)(Thread)

[info]rus4
2006-05-02 12:31 pm UTC (link)
Проблема в том, что эти претензии применимы к обоим способам, в то время как в первом способе получается правильный ответ (и рассуждение можно сделать строгим), а второй способ дает неверный ответ.

Хотелось бы увидеть априорную разницу между рассуждениями.

(Reply to this)(Parent)(Thread)

[info]septembreange
2006-05-02 01:40 pm UTC (link)
Да, ты понимаешь,что прореживание нулями и расстановка скобок - это одно и то же?

((a_1+b1)+(a_2+b_2)+(a_3+b_3)+...)=
=(a_1+a_2+a_3+...)+(b_1+b_2+b_3+...)=
=(a_1+0+a_2+0+a_3+...)+(0+b_1+0+b_2+0+b_3+...)=
=(a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3+...)

(Reply to this)(Parent)

[info]septembreange
2006-05-02 01:18 pm UTC (link)
Может, дело в том, что ты равенство нулю используешь во втором способе?

(Reply to this)

[info]septembreange
2006-05-02 01:24 pm UTC (link)
Ты бы еще вот над чем подумал:

0=(1+2+3+4+5+....)-(0+1+2+3+4+...)=1+1+1+1+1+...

с другой стороны,

(1+1+1+1+1+...)+(1-1+1-1+1-...)=2+0+2+0+2+0+...=2+2+2+2+2+...=2(1+1+1+1+1+...), откуда 1+1+1+1+1+...=1-1+1-1+1-...=1/2

(Reply to this)(Thread)

[info]rus4
2006-05-02 02:20 pm UTC (link)
В том-то и дело, что это все совершенно противозаконные вещи. Но в первом случае их можно сделать законными, а во втором нельзя.

(Reply to this)(Parent)(Thread)

[info]menato
2006-05-04 08:24 am UTC (link)
А что произойдёт при узаконивании с признкаком расходимости Коши?

(Reply to this)(Parent)

[info]dashhh
2006-08-06 09:25 pm UTC (link)
Ну первый способ можно сделать абсолютно законным, если правильно определить сходимость...

А во втором (интуитивно) кажется, что мы вычитаем из бесконечности 2 бесконечности и получаем минус бесконечность...

Очень интересно, какой ответ подразумевает автор.

(Reply to this)(Thread)

[info]rus4
2006-08-19 05:27 pm UTC (link)
см. комментарии. Удовлетворительного оъяснения у меня нет.

(Reply to this)(Parent)

Create an Account
Forgot your login?
Login w/ OpenID
English • Español • Deutsch • Русский…