![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small}
01 May 2006, 22:32
сумма натуральных чисел
Вычислим сумму 1+2+3+...
1 способ. Пусть 1-1+1-1+...=a. Тогда
1-1+1-...=a. Складывая в столбик, получаем, что 2a=1+0+0+...=1, a=1/2.
Пусть теперь 1-2+3-4+...=b. Тогда
1-2+3-...=b. Складывая, получаем, что
2b=1-1+1-1+...=1/2, b=1/4.
Пусть теперь 1+ 2+3+ 4+5+...=с.
Тогда 0+4*1+0+4*2+0+...=4с.
Вычитая в столбик, получаем, что -3с=1-2+3-4+5+...=1/4, стало быть
1+2+3+...=-1/12.
2 способ. Пусть 1+2+3+...=S.
Тогда 2+4+6+...=2*(1+2+3+...)=2S. Стало быть
1+3+5+...=(1+2+3+4+5+6+...)-
(0+2+0+4+0+6+...)=-S.
Теперь сложим равенства
1+2+3+4+...=S
0+1+3+5+...=-S.
Получим 0=1+3+6+9+...=1+3*(1+2+3+...)=1+3S, S=-1/3.
Поэтому
1+2+3+...=-1/3.
Вопрос: почему в первом случае получается правильный ответ, а во втором неправильный?
1 способ. Пусть 1-1+1-1+...=a. Тогда
1-1+1-...=a. Складывая в столбик, получаем, что 2a=1+0+0+...=1, a=1/2.
Пусть теперь 1-2+3-4+...=b. Тогда
1-2+3-...=b. Складывая, получаем, что
2b=1-1+1-1+...=1/2, b=1/4.
Пусть теперь 1+ 2+3+ 4+5+...=с.
Тогда 0+4*1+0+4*2+0+...=4с.
Вычитая в столбик, получаем, что -3с=1-2+3-4+5+...=1/4, стало быть
1+2+3+...=-1/12.
2 способ. Пусть 1+2+3+...=S.
Тогда 2+4+6+...=2*(1+2+3+...)=2S. Стало быть
1+3+5+...=(1+2+3+4+5+6+...)-
(0+2+0+4+0+6+...)=-S.
Теперь сложим равенства
1+2+3+4+...=S
0+1+3+5+...=-S.
Получим 0=1+3+6+9+...=1+3*(1+2+3+...)=1+3S, S=-1/3.
Поэтому
1+2+3+...=-1/3.
Вопрос: почему в первом случае получается правильный ответ, а во втором неправильный?
2006-05-01 07:27 pm (UTC) (Link)
Ага.
Надо \pi^2/6=(1/1^2+1/2^2+1/3^2+...) пару раз домножить на (1+2+3+..) и отКБШировать.
Яужезабыл что получаеться, надо вспомнить:)
2006-05-01 07:44 pm (UTC) (Link)
я пас.
2006-05-01 07:50 pm (UTC) (Link)
В том смысле, что, может Вы рассматриваете гораздо более прикольное мн-во, чем R, так исследуйтее его глубже... возможно в нём просто другие законы умножения и противоречия не возникает.
Типа это какой-то совсем глобальный делитель 0 или б.м. окрестность в каких-то схемах :)))
2006-05-02 06:38 am (UTC) (Link)
2006-05-02 08:24 am (UTC) (Link)
Re: С каких это пор
http://rus4.livejournal.com/12191.h
А если пользоваться формулой Антона (0+2+0+4+0+6+...)=(1+2+3+...)/2, то получится 1/4=0.
2006-05-01 07:51 pm (UTC) (Link)
2006-05-01 07:59 pm (UTC) (Link)
2006-05-02 07:36 am (UTC) (Link)
Это формула zeta(s)*(2^{1-s}-1)=\sum (-1)^n*n^{-s}
(для s=-1). А формула верна, потому что она верна для Re(s)>1 (тогда ряды сходятся, и можно выделять четные слагаемые).
2006-05-01 08:47 pm (UTC) (Link)
Федя! Ты гонишь! 0+1+0+2+0+...=1/4(1+2+3+4+...), а совсем не целому. Это видно из предела отношения частичных сумм. Еще Больцано,кажется, понимал, что эти ряды разные.
2006-05-01 10:42 pm (UTC) (Link)
2006-05-02 06:41 am (UTC) (Link)
2006-05-01 09:58 pm (UTC) (Link)
2006-05-01 10:35 pm (UTC) (Link)
2006-05-02 06:19 am (UTC) (Link)
2006-05-02 06:35 am (UTC) (Link)
2006-05-01 10:05 pm (UTC) (Link)
2006-05-02 06:37 am (UTC) (Link)
2006-05-02 07:20 am (UTC) (Link)
2006-05-01 10:18 pm (UTC) (Link)
2006-05-02 06:43 am (UTC) (Link)
2006-05-02 07:23 am (UTC) (Link)
2006-05-02 07:29 am (UTC) (Link)
1) обобщенная сумма сходящегося ряда равна его обычной сумме
2) sum(a_n+b_n)=sum(a_n)+sum(b_n), если обе суммы справа существуют
3) sum(a_n)=a_1+sum(a_{n+1}).
Про скобки ничего не говорится.
А идея применять методы суммирования расходящихся рядов в бухгалтерии представляется перспективной.
2006-05-02 11:24 am (UTC) (Link)
От прореживания нулями и сумма по Чезаре иногда меняется, например, если мы в ряду 1-1+1-1... после каждой +единички поставим по нолику, то она будет уже 2/3, если я правильно помню, что это такое.
Правда, от прореживания каждым вторым нулем она не меняется, да.
Но точно ни у каких других признаков с ней проблем не воозникает?
2006-05-02 12:31 pm (UTC) (Link)
Хотелось бы увидеть априорную разницу между рассуждениями.
2006-05-02 01:40 pm (UTC) (Link)
((a_1+b1)+(a_2+b_2)+(a_3+b_3)+...)=
=(a_1+a_2+a_3+...)+(b_1+b_2+b_3+...)=
=(a_1+0+a_2+0+a_3+...)+(0+b_1+0+b_2+0+b_
=(a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3+...)
2006-05-02 01:18 pm (UTC) (Link)
2006-05-02 01:24 pm (UTC) (Link)
0=(1+2+3+4+5+....)-(0+1+2+3+4+...)=1+1+1+1+1+
с другой стороны,
(1+1+1+1+1+...)+(1-1+1-1+1-...)=2+0+2+0+2+0+
2006-05-02 02:20 pm (UTC) (Link)
2006-05-04 08:24 am (UTC) (Link)
2006-08-06 09:25 pm (UTC) (Link)
А во втором (интуитивно) кажется, что мы вычитаем из бесконечности 2 бесконечности и получаем минус бесконечность...
Очень интересно, какой ответ подразумевает автор.
2006-08-19 05:27 pm (UTC) (Link)
2008-11-10 08:47 pm (UTC) (Link)
Ты знаешь, что эту сумму можно _измерить_ руками?
2008-11-10 08:54 pm (UTC) (Link)
2008-11-10 08:59 pm (UTC) (Link)
С другой стороны, эту силу можно подсчитать (довольно несложное вычисление, проделанное Казимиром в 1948 году). В ответ войдёт zeta(-1). Сравниваем теоретический ответ с экспериментальным числом; оказывается, что zeta(-1) = -1/12 с точностью до пятого, что ли, знака.
2008-11-10 09:09 pm (UTC) (Link)