| Федор Петров ( @ 2006-05-01 22:32:00 |
сумма натуральных чисел
Вычислим сумму 1+2+3+...
1 способ. Пусть 1-1+1-1+...=a. Тогда
1-1+1-...=a. Складывая в столбик, получаем, что 2a=1+0+0+...=1, a=1/2.
Пусть теперь 1-2+3-4+...=b. Тогда
1-2+3-...=b. Складывая, получаем, что
2b=1-1+1-1+...=1/2, b=1/4.
Пусть теперь 1+ 2+3+ 4+5+...=с.
Тогда 0+4*1+0+4*2+0+...=4с.
Вычитая в столбик, получаем, что -3с=1-2+3-4+5+...=1/4, стало быть
1+2+3+...=-1/12.
2 способ. Пусть 1+2+3+...=S.
Тогда 2+4+6+...=2*(1+2+3+...)=2S. Стало быть
1+3+5+...=(1+2+3+4+5+6+...)-
(0+2+0+4+0+6+...)=-S.
Теперь сложим равенства
1+2+3+4+...=S
0+1+3+5+...=-S.
Получим 0=1+3+6+9+...=1+3*(1+2+3+...)=1+3S, S=-1/3.
Поэтому
1+2+3+...=-1/3.
Вопрос: почему в первом случае получается правильный ответ, а во втором неправильный?
Вычислим сумму 1+2+3+...
1 способ. Пусть 1-1+1-1+...=a. Тогда
1-1+1-...=a. Складывая в столбик, получаем, что 2a=1+0+0+...=1, a=1/2.
Пусть теперь 1-2+3-4+...=b. Тогда
1-2+3-...=b. Складывая, получаем, что
2b=1-1+1-1+...=1/2, b=1/4.
Пусть теперь 1+ 2+3+ 4+5+...=с.
Тогда 0+4*1+0+4*2+0+...=4с.
Вычитая в столбик, получаем, что -3с=1-2+3-4+5+...=1/4, стало быть
1+2+3+...=-1/12.
2 способ. Пусть 1+2+3+...=S.
Тогда 2+4+6+...=2*(1+2+3+...)=2S. Стало быть
1+3+5+...=(1+2+3+4+5+6+...)-
(0+2+0+4+0+6+...)=-S.
Теперь сложим равенства
1+2+3+4+...=S
0+1+3+5+...=-S.
Получим 0=1+3+6+9+...=1+3*(1+2+3+...)=1+3S, S=-1/3.
Поэтому
1+2+3+...=-1/3.
Вопрос: почему в первом случае получается правильный ответ, а во втором неправильный?