?

Log in

No account? Create an account
 
 
19 May 2016 @ 12:15 am
арифметические прогрессии по модулю 3  
Я не очень пишу в жж, потому что тут с формулами неудобно. Но тут такой случай, что решение знаменитой задачи можно приложить одной картинкой. Тем более, решается с помощью многочленов, а многочлены наша тема.

Вопрос: какого количества точек в n-мерном пространстве над F_3 достаточно, чтобы в нем заведомо нашлась арифметическая прогрессия длины 3? Знаменитая теорема Рота говорит, что хватает o(3^n) точек. На днях доказали, что хватает c^n точек при некотором c<3 (предыдущие результаты были навроде 3^n/n). Доказали как. Сначала Крут, Пах и Лев выложили короткий препринт, где сделано для остатков по модулю 4, потом быстро несколько людей заметило, что делается ещё короче и для 3 (Тао пишет, что Ellenberg и независимо Gijswijt, подозреваю, что это не полный список.) Я откладывал чтение RGK и поэтому, конечно, опоздал, но не пропадать же добру - читайте. Доказательство улучшено irishoak и, в общем, получается совсем та же оценка, что у Ellenberg и Gijswijt. Правда, можно немного улучшить, и более культурно изложить https://dl.dropboxusercontent.com/u/15433464/f3_eng.pdf


 
 
 
Французик из Бордоfrench_man on May 19th, 2016 08:12 am (UTC)
Круто!

Сева Лев, кстати, мой соавтор :)
Илья Владимирович Доголяцкийilya_dogolazky on May 19th, 2016 04:52 pm (UTC)
Федор Петровrus4 on May 19th, 2016 05:13 pm (UTC)
Именно.
Kostya_Izyurovmtsyr on September 6th, 2016 06:30 am (UTC)
Я знаю финский еще хуже, чем математику, но помочь готов.
Федор Петровrus4 on September 6th, 2016 06:52 am (UTC)
Спасибо большое! Можешь сказать е-мейл? Надо выверить перевод (небольшого) текста на финский. Переводили люди, которые совсем никак в математике, не уверен что я смог им что-то объяснить.
Kostya_Izyurovmtsyr on September 6th, 2016 06:56 am (UTC)
k.izyurov@gmail.com. Я сейчас иду на лекцию, но сегодня в течение дня сделаю.
Федор Петровrus4 on September 6th, 2016 07:24 am (UTC)
Спасибо! К сожалению, нужно срочнее чем в течение дня, так что если взглянешь после лекции буду очень признателен.
Шляпник: beerrusshatter on February 8th, 2017 08:33 pm (UTC)
С днём рождения, Фёдор! Успехов и удачи!
Федор Петров: Федяrus4 on February 8th, 2017 08:34 pm (UTC)
Спасибо, Сергей!
(Anonymous) on August 12th, 2018 09:47 pm (UTC)
Поправочка, однако: у Крута-Льва-Паха не четырехэлементное поле, а кольцо Z/4Z. (В четырехэлементом поле это слишком просто было бы.) А так - доказательство отличное; мне кажется, оно не вполне идентично тому, что у Крута-Льва-Паха / Эленберга-Гийсвийта, и мне лично даже больше нравится.
Федор Петров: Федяrus4 on August 12th, 2018 09:59 pm (UTC)
Ой, конечно, спасибо за поправку. В пространстве над полем из 4 элементов вообще нет нетривиальных 3-прогрессий:)

Доказательство то же, только изложено в другом порядке и аккуратнее, из-за чего оценка чуть лучше.